Dimensionnement du longeron


Jean-Pierre LALEVÉE, Bruno CORBEAU, Hans ENGELS

Encore un chapitre indigeste, bourré de calculs. Une fois encore il est fait grand usage du bouquin de Maurice GUERPONT "Les Ailes de l'Amateur", qui contient des formules simplifiées et des explications sur leur usage. Cette page tente d'éclaircir le problème du dimensionnement des longerons de nos Pou(x), en fournissant des détails qui manquent dans le bouquin puisqu'il n'est pas spécifiquement destiné à nos avions préférés. Ce chapitre est purement pédagogique; il ne contient pas forcément LA vérité.


Merci à Bruno CORBEAU et Hans ENGELS pour l'aide qu'ils m'ont apportée dans la mise au point de ce chapitre. Néanmoins, s'il contient des erreurs (et c'est possible, sinon probable, car je n'ai personnellement aucune compétence dans le domaine traité ici), j'en assume la responsabilité exclusive car Bruno et Hans n'ont fait que donner un avis sur l'orthodoxie des calculs, et n'ont pas vérifié leur exactitude.

Le dimensionnement du longeron de l'aile avant n'est pas ce qu'il y a de plus simple; il faut s'occuper séparément des semelles et des âmes. Il s'agit de prendre en compte tous les efforts que nous avons calculés (voir chapitres "Calculs d'efforts") sur l'aile dans le sens vertical et dans le sens horizontal. Les efforts à comptabiliser sont: moment de flexion de l'aile, moment dû au hauban, moment dû au mât de cabane; compression due à la toile, compression due au au hauban et au mât de cabane, traction/compression due à la ressource, efforts tranchants. Dans cette liste, il y a des efforts que nous n'avons pas encore chiffrés jusqu'à présent, et nous devons nous y atteler en premier lieu.

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Voici l'ordre des opérations:

SEMELLES:
1: Compressions
2: Flexions
3: Efforts en ressource
ÂMES: Efforts tranchants
CONCLUSION et programmes informatiques de calcul

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Rappel préalable:
Selon le plan Grünberg, le longeron du HM 293 mesure 60 mm de largeur. Les semelles inférieure et supérieure ont la même épaisseur: 15 mm. Dans les bouts d'ailes, cette épaisseur diminue doucement dans la partie arrondie, jusqu'à atteindre 6 mm. Les deux semelles sont séparées de 90 mm, ce qui nous donne une hauteur totale de longeron égale à 120 mm, sauf dans les bouts d'ailes, où largeur et hauteur se réduisent.




SEMELLES 1: ANALYSE DES COMPRESSIONS


Voyons d'abord quelle épaisseur de semelle est nécessaire pour tenir les efforts en compression. Maurice GUERPONT propose d'employer une simplification très peu défavorable, en considérant que les compressions sont partagées à égalité entre les semelles, bien que ce ne soit pas tout à fait exact.

A - Compression due à l'entoilage:

La toile exerce sur l'aile, donc sur le longeron lui-même, une certaine compression, dont la valeur n'est pas ridicule puisqu'elle atteint 400 kg par mètre de largeur. Cette valeur est donnée dans le livre, mais sans explications quant à son origine. Hans Engels a retrouvé sa trace dans un livre très connu des amateurs de calculs aéronautiques: "Le Desgrandchamps" (Calcul et construction des avions légers). Ce livre qui a servi de référence à Maurice GUERPONT lui-même pour son propre petit manuel destiné aux curieux et aux non-matheux, a été édité en 1947, époque où l'entoilage était réalisé en lin. Nous n'en sommes plus là, mais nous n'avons pas beaucoup d'informations sur les toiles polyester modernes. Bruno Corbeau a posé la question à Diatex ... qui à ce jour n'a jamais répondu à sa demande.

Alors allons-y avec ces 400 kg par mètre ... Par largeur, il faut entendre la mesure de la corde de l'aile: 1,20 m pour le HM 293. 
On a donc 400 kg x 1,2 m = 480 kg au total, soit 480 kg / 2 semelles = 240 kg par semelle.
Valeur importante et étonnante, mais quelle que soit sa valeur, cette compression est constante sur toute la longueur de l'aile; elle s'applique donc aussi bien sur les pointes d'ailes que sur la partie centrale.

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Échange de réflexions par courriels entre Hans Engels, Bruno Corbeau, et moi, d'où n'émerge aucune certitude:

HE: Tu notes que l'entoilage provoque une force de 400 kg/m largeur. Est ce par m de toile ? Dans ce cas la force totale devrait être 400 x 1.20 x 2 et pas 400 x 1.20.
JPL: Maurice Guerpont utilise cette valeur de 400 kg par m de largeur sans donner d'explications sur son origine. Il la divise par 2 pour attribuer 200 kg à chaque semelle. Donc 400 kg est la force totale pour les 2 faces. Comme j'utilise son bouquin comme référence, je suis obligé d'utiliser les valeurs qu'il donne si je n'ai rien de mieux et plus sûr à proposer.
HE: Je n'ai pas le livre de Guerpont mais finalement j'ai trouvé d'où ça vient! Ça vient de Desgrandschamps (p. 40) qui utilise 400 kg/m largeur (corde) mais ça doit être réparti sur chaque longeron selon sa position en profondeur. Aussi, pour le longeron principal, ça nous donne: 0.24 m (bord d'attaque) + 0.40 m / 2 (entre longerons)) x 400 kg = 176 kg
- Cette force de 400 kg/m largeur me semble assez élevée.
JPL: C'est aussi mon avis, mais je ne sais pas trop où trouver la réponse. Je vais interroger Mignet et Diatex...
BC: Il semble probable que des toiles thermorétractables, surtout les plus fortes (1500 ou 2000HT...) tirent plus sur la structure que des toiles de lin de 1946 tendues à la main et au lardage.
HE: Desgrandschamps (1947) note que les toiles employées en aviation sont exclusivement des toiles de lin (p.108). Ce vieux matériau n'est plus utilisé sur des Poux modernes. Alors qu'est ce que donnent les matériaux actuels ? Dans "How to cover an aircraft" de Poly-Fiber, il y a des rapports de tests. Un des tests est le "Heat Tension Test" qui indique que pour une toile D-103 il y a une tension maximale a 350°F de 35.5 oz/ inch de largeur (39,7 kg/m de largeur de toile) alors il est peut-être acceptable d'utiliser 80 à 100 kg par mètre de corde de profil.
- Entre le petit longeron et le bord de fuite, il y a ±500 mm de nervure en baguettes de peuplier de 6 x 6, et au bout de chaque nervure un renfort en ctp de 60 x 1.20 mm. Est-ce qu'une baguette de 500 mm et une bande comme celle-là peut résister à une force de 400 x 0.5 = 200 kg en flexion (JPL: tu veux dire "compression" ?) Cela m'étonnerait! Le ctp flamberait et la structure se casserait!!!
Ça doit être 400 x 0.5 / 2 = 100 kg si on suit Desgrandschamps. Et je dis bien "flexion" car c'est la tension de la toile qui tire perpendiculairement aux nervures (donc // au longeron), ce qui fait que nous avons une sorte de mini longeron, composé d'une baguette et d'une bande de ctp pour résister.
JPL: C'est sûrement ce qui se passerait avec un entoilage Dacron à 2000 kg. C'est pourquoi je pense que cette valeur de 400 kg/200 kg doit être réduite pour nos entoilages en Dacron 1000.
HE: Je le pense aussi (voir plus haut).
BC: Il me semble cependant évident que le longeron n'est pas seul à reprendre la compression axiale due à l'entoilage. Même si notre aile est "monolongeron", celui-ci est largement secondé par le longeronnet, le coffrage de bord d'attaque (et sa baguette) et les baguettes contrecollées du bord de fuite. Mais c'est assez difficile à évaluer. Desgrandschamps nous donne un exemple de calcul d'aile bilongeron où l'effort est réparti entre les longerons AV et AR proportionnellement à leur position sur la corde de profil. Ce principe pourrait sans doute être adopté pour les éléments de structure précités...

etc., etc., comme quoi tout n'est pas simple ...

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Mais puisque la valeur de 400 kg/m est fortement défavorable, elle entraîne une surévaluation de l'épaisseur de bois nécessaire sur chaque semelle. C'est bon pour la sécurité, alors gardons ces 400 kg/m pour la suite de nos calculs.

B - Compression due aux haubans et mâts de cabane:

Puisque le câble-hauban est placé obliquement, il exerce une compression sur le longeron. La formule applicable est:
- (changement de signe) Réaction d'Appui sur attache de hauban (-RaH) / tangente de l'angle interne du câble (32°).
On se plonge donc dans la table des tangentes du formulaire des mécaniciens, ou on se jette une fois de plus sur sa calculette scientifique: la tangente de 32° vaut 0,62487:
+670,8 kg / 0,62487 = 1.074 kg (valeur arrondie par excès)
Le longeron est donc comprimé, entre les 2 attaches de hauban, par une force qui dépasse sensiblement une tonne ? Ne nous affolons pas ...

Les mâts de cabane ont également une inclinaison latérale, qui provoque une compression supplémentaire du longeron.
L'angle d'inclinaison interne des mâts est de 70° environ. La compression induite supplémentaire vaut par conséquent:
Réaction d'appui sur l'attache de cabane / tangente de 70° (= 2,74748)
160,8 kg / 2,74748 = 59 kg
Mais contrairement au hauban, la cabane travaille en compression, ce qui a pour effet de compresser le longeron lui-même vers l'extérieur des mâts de cabane, c'est à dire en direction de l'attache de hauban. On admettra qu'il faut par conséquent cumuler les compressions dans la zone comprise entre l'attache de cabane et celle de hauban:
1.074 kg + 59 kg = 1.133 kg pour les 2 semelles dans cette zone (567 kg par semelle).
Tandis que cette compression vient en déduction entre les deux mâts de cabane:
1.074 kg - 59 kg = 1.015 kg, soit 508 kg par semelle.

Cette compression par le hauban et la cabane ne s'applique que sur la partie centrale de l'aile; elle ne concerne pas les pointes d'ailes.
Rappelons-nous qu'elle est constante (1.133 kg) entre la fixation de hauban et la fixation de cabane, puis qu'elle diminue un peu (1.015 kg) et reste constante entre les deux mâts de cabane.

Le schéma ci-dessous résume les efforts de compression, valeurs et sens, selon les emplacements sur l'aile:

Calcul du longeron par Jean-Pierre LALEVEE

 

(Cliquez pour agrandir)


Calcul des épaisseurs POUR TENIR CES COMPRESSIONS:

Rappel préalable: le sapin de bonne qualité - tel qu'il doit être pour le longeron - offre un taux de travail à la compression de 3,5 kg/mm2.
Ce qui signifie qu'il faut une section de 1 mm2 de bois pour tenir une compression de 3,5 kg.

1° - Pour les pointes d'ailes:
Dans cette zone, la compression provient de la toile seulement, soit pour chaque semelle:
480 kg / 3,5 = 137,2 mm2
Il faut donc 137,2 mm2 de bois pour tenir cette compression.
Puisque notre longeron mesure 60 mm de largeur, une simple division nous donne l'épaisseur de bois dont on a besoin: 
137,2 mm2 / 60 mm = 2,3 mm, soit une épaisseur de 1,2 mm pour chaque semelle.

2° - Pour l'aile centrale: zone entre cabane et hauban:
Sur l'aile centrale, la compression provient de la toile, plus du hauban, plus du mât de cabane.
(compression par la toile + compression due au hauban + compression due au mât de cabane ) / 3,5
soit (480 kg + 1.074 + 59 kg) / 3,5 = 461 mm2 pour tenir cette compression.
L'épaisseur nécessaire est donc: 461 mm2 / 60 mm = 7,7 mm soit 3,7 mm pour chaque semelle.
3 fois plus d'épaisseur de bois que pour les pointes d'ailes!

3° - Pour l'aile centrale: zone entre les 2 mâts de cabane:
(compression par la toile + compression due au hauban - compression due au mât de cabane) / 3,5
soit (480 kg + 1.074 kg - 59 kg) / 3,5 = 427,2 mm2 pour tenir cette compression.
L'épaisseur nécessaire est donc: 427,2 mm2 / 60 mm = 7,2 mm soit 3,6 mm pour chaque semelle.

MAIS ATTENTION:
Les attaches de hauban et de cabane ne sont pas simplement COLLÉES sous le longeron! Puisqu'elles y sont vissées sérieusement, il faut tenir compte du fait que la largeur UTILE du longeron est diminuée par la présence des TROUS DE FIXATION DES ATTACHES. Ainsi, à l'attache de hauban, la largeur du longeron n'est plus que 60 mm - (2 x 8 mm) = 44 mm. Et à l'attache de cabane: 60 mm - 8 mm = 52 mm.

Du coup, à l'attache de hauban, il faut une épaisseur de bois plus importante:
461 mm2 / 44 mm = 10,5 mm, soit 5,3 mm par semelle!
Et à l'attache de cabane:
427,2 mm2 / 52 mm = 8,2 mm soit 4,1 mm par semelle!



SEMELLES 2: ANALYSE DE LA FLEXION


C'est l'épaisseur des semelles, et aussi l'espace qui les sépare qui permettent au longeron de tenir les efforts de flexion. Plus le longeron est haut, et plus l'épaisseur des semelles peut être réduite.

On considère, car c'est meilleur pour la sécurité, que ce sont les couches les plus externes des semelles qui servent à tenir les efforts en compression (en bleu dans le schéma ci-dessous), et que les couches internes (en rose) ne servent que pour tenir la flexion:

Calcul du longeron par Jean-Pierre LALEVEE


Ce principe présente l'avantage de ne pas minimiser l'épaisseur de bois pour la tenue en flexion, mais la hauteur du longeron se trouve virtuellement diminuée de l'épaisseur nécessaire à la tenue en compression, et il faut en tenir compte dans la suite des calculs.
Voici donc les hauteurs restantes, déduction faite des épaisseurs nécessaires pour la compression:
Entre le bout d'aile et l'attache de hauban: 120 mm - ( 2 x 1,2 mm) = 117, 6 mm
Entre l'attache de hauban et l'attache de cabane: 120 mm - ( 2 x 3,7 ) mm = 112,6 mm
Entre l'attache de cabane et l'axe central: 120 mm - (2 x 3,6 mm ) = 112,8 mm
Et moins encore à l'emplacement des attaches, à cause des trous de fixation, comme on l'a déjà vu plus haut!

Les calculs de section et épaisseur de semelles concernant la flexion sont plus difficiles à effectuer que pour la compression. En effet, les efforts de compression sont constants sur de grandes longueurs, alors que les efforts de flexion, eux, varient en fonction de la distance par rapport à l'axe central du longeron, comme les graphiques l'indiquent clairement.
Ci-dessous un rappel du graphique que nous connaissons déjà (voir chapitre "Aile Avant sur 4 appuis"), avec l'aile du HM 293 superposée à une échelle équivalente:

Calcul du longeron par Jean-Pierre LALEVEE

(cliquez pour agrandir)

Profitons-en pour rappeler que la portance sur une aile n'est pas linéaire, simplement parce que son envergure n'est pas infinie. Il y a des "fuites" d'air sur les extrémités de l'aile, avec tourbillons qui entraînent l'air de l'intrados vers l'extrados, et qui réduisent fortement la portance sur les bords marginaux. De ce fait, il faut considérer que la forme de la courbe de portance sur une aile de Pou se rapproche d'une demi-ellipse (et encore, on ne tient pas compte de l'effet de l'hélice!); ce qui augmente les efforts au milieu de l'aile et les réduit aux extrémités. Mais en effectuant les calculs en estimant que la portance est constante sur toute l'envergure, on majore ses effets sur les bouts d'aile, ce qui va dans le sens d'une meilleure sécurité puisque les épaisseurs de bois calculées pour les bouts d'ailes s'en trouvent augmentées.

M. GUERPONT suggère (p. 26 de son livre) d'effectuer certaines retouches sur les données "brutes" déjà connues ou calculées, pour tenir compte du fait que les ferrures sont toutes placées sous l'aile. En effet, les efforts dus au hauban et au mât de cabane s'exercent non pas précisément et idéalement sur l'axe longitudinal central du longeron, mais à quelques centimètres en dessous. L'axe longitudinal central du longeron et l'œil d'articulation des ferrures sont éloignés de 90 mm (visible et mesurable sur plan GRÜNBERG p.20). Cette distance, qu'on appellera DÉSAXAGE, est la même pour la cabane et pour le hauban, puisque leurs trous doivent être bien alignés afin de permettre la rotation libre de l'aile au sommet de la cabane.

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Les réactions non concertées et immédiates de Hans et Bruno à la première lecture de mon projet montrent que le dimensionnement d'un longeron pose des problèmes de conscience:

H.E.: Je trouve assez dangereuse la théorie de tenir compte d'un moment qui vient du fait que les ferrures sont en dessous de l'aile. En théorie c'est exact, mais le moindre changement des ferrures ou la moindre usure, et le trou s'agrandit. Alors le moment change, et la fibre extérieure ne peut plus tenir tous les efforts.
Les autres fibres vont aussi absorber une partie de la pression, alors où exactement est situé le point d'attache de la résultante?
Je ne pense pas que ce soit à l'extérieur du longeron. Des trous dans le bois peuvent produire une réduction du bras de levier (ces 90 mm) qui provoquent un moment beaucoup plus élevé que prévu par la théorie.
Dans mes calculs je prends toujours le point d'attache sur la fibre neutre, ce qui rend les forces plus sévères mais augmente la sécurité.
Je garde la configuration et les angles comme prévus sur les plans. Mais j'applique l'action horizontale (le chiffre) du hauban ou du mât de cabane à la fibre neutre du longeron. Comme ça je n'ai qu'un N (une compression) et pas de moment de flexion supplémentaire.
Pourquoi est-ce que ça augmente le sécurité ? Si je le considère comme un moment supplémentaire, c'est un moment qui provoque une
pression dans la semelle inférieure et une traction dans la semelle supérieure. Mais à cet endroit, par la charge alaire, le longeron possède déjà un moment, mais qui est de sens opposé! Alors, pour connaître le moment total, il faut soustraire les deux, ce qui veut dire que la pression et la traction dans les semelles diminuent!!! Si on ne met pas un moment supplémentaire mais un N, on augmente la compression dans la semelle supérieure!!! La traction dans la semelle inférieure diminue, mais moins que dans l'autre théorie. Alors je préfère ce surplus de sécurité.

B.C.: Je ne suis pas convaincu par ces efforts supplémentaires dus au décalage entre attaches et axe du longeron.
Pourquoi cette hostilité farouche ?
1- D'une part le "caissonnage" interne en bois dur me semble apte à rigidifier la fixation et faire ainsi en sorte que l'on puisse virtuellement prolonger l'axe de hauban jusqu'à l'axe du longeron et considérer ainsi qu'il n'y a pas de décalage (Si on s'amuse à calculer en flexion la "boîte" en bois dur qui renforce l'attache de hauban, on ne doit pas être déçu). A la limite le point d'ancrage virtuel (intersection axe hauban / axe longeron) se trouvera légèrement éloigné vers l'extérieur sur l'axe du longeron, ce qui réduira (un petit peu) le Mf calculé.
2- D'autre part, sauf erreur de ma part, la prise en compte de ces efforts me semble réduire drastiquement le Mf calculé: dans le calcul du paramètre W, le moment dû au décalage s'ajoute mais est opposé au Mf (ce qui est d'ailleurs logique). Ainsi le moment de flexion utilisé pour le dimensionnement passerait de -212 m.Kg à -212 + 99 = 113 m.Kg, soit une réduction de moitié!
En plus, si le Mf se réduit, l'effort tranchant correspondant augmente quant à lui très sensiblement en valeur absolue (cf. § "âme du longeron"), ce qui me choque un peu.
3- Enfin Desgrandschamps n'aborde pas la question de la même manière, et son approche globale semble aussi se tenir ...

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Personnellement, je maintiens la ligne de référence qu'est le livre Guerpont. Puisque désaxage des fixations il y a, prenons-le en compte comme il est, et comme les lois de la physique suggèrent qu'il faut le prendre ... Quitte à appliquer ensuite les corrections qu'on pense devoir apporter, en son âme (ha, ha!) et conscience.

Or donc, cette position des ferrures en dessous de l'aile crée un moment fléchissant, qui est égal à la valeur de compression dans le longeron, que multiplie la distance (en mètres) entre l'axe longitudinal central du longeron et l'œil de la pièce d'articulation:
Pour l'attache de hauban: 1.074 kg x 0,09 m = +96,7 mkg
Pour l'attache de cabane: -59 kg x 0,09 m = -5,5 mkg
On a donc un moment de flexion supplémentaire de 97 mkg sur l'attache de hauban, et un autre de - 5,5 mkg sur l'attache de cabane.
Reste à comprendre comment s'organisent ces compressions, et dans quel sens elles s'appliquent ...

Les 3 schémas qui suivent, réalisés par Bruno CORBEAU, représentent une organisation qui semble logique, et que l'on a adoptée faute de trouver mieux. Hans Engels en particulier continue à y réfléchir. Il se peut que cette organisation soit remise en cause après étude plus approfondie (d'ailleurs nous sommes preneurs de votre avis, surtout si ce n'est pas le même, si vous pouvez l'étayer par des chiffres):


Calcul du longeron par Jean-Pierre LALEVEE
(Cliquez pour agrandir)


Il y a peu de doutes à avoir pour ce qui concerne les câbles de hauban: du fait de la traction qu'ils exercent, le désaxage des attaches induit sur le longeron une flexion qui comprime la semelle inférieure, et qui tend la semelle supérieure. S'il était souple, le longeron deviendrait convexe au dessus, et concave en dessous. On sait qu'en vol, un moment de flexion maximal de -212,5 mkg s'exerce sur le longeron à l'emplacement de l'attache de hauban. Par la traction du hauban et le désaxage, un moment de flexion de +97 mkg (donc INVERSE) s'exerce également. La valeur de flexion résultante est donc égale à:
-212,5 mkg + 97 mkg = 115,5 mkg
Lé désaxage des attaches réduit donc fortement le moment fléchissant du longeron à cet endroit. C'est là ce qui gêne Bruno et Hans ...

Pour ce qui concerne les mâts de cabane, on sait que l'aile exerce sur eux une compression. Ce qui signifie qu'à cet endroit précis de l'aile, un longeron mou serait plutôt convexe en dessous et concave au dessus. Le moment de flexion connu au niveau de l'attache de mât de cabane atteint +25 mkg. Par la présence du mât et le désaxage, on a vu qu'un moment de flexion de -5,5 mkg se manifestait.
À l'attache de cabane, la valeur de flexion résultante vaudrait donc: +25 mkg - 5,5 mkg = 19,5 mkg

Les valeurs de flexion étant évaluées, on passe aux calculs qui les utilisent. Concrètement, on commence par choisir judicieusement sur le longeron les emplacements pour lesquels on veut calculer l'épaisseur des semelles. Par exemple, pour notre HM 293, on doit traiter au moins 6 points: à l'axe central (1), au niveau de l'attache de cabane côté intérieur (2), entre la cabane et le hauban (3), à l'attache de hauban côté fuselage (4), à l'attache de hauban côté pointe d'aile (5), au centre géométrique de la pointe d'aile (6). Ce sont les emplacements de ces points de calcul que l'on voit inscrits sur le schéma placé plus haut. Si l'on est vraiment courageux, on fera des calculs par exemple tous les 10 cm, et on y passera beaucoup de temps... La preuve:

Pour chacun de ces calculs, on doit d'abord rechercher la valeur du "coefficient de remplissage du longeron" baptisé W, défini ainsi:
((Moment fléchissant de l'aile + Moment dû au mât) x 1000) / (largeur du longeron x hauteur restante du longeron au carré x taux de travail du bois à la compression)
Prenons un exemple en calculant l'épaisseur nécessaire en flexion à un emplacement qu'on sait très sollicité: au droit de l'attache de hauban intérieur (du côté du fuselage).
L'épaisseur de bois nécessaire à cet endroit pour tenir les compressions est de 10,5 mm (cf. ci-dessus).
Donc la hauteur de longeron restante vaut: 120 mm - 10,5 mm = 109,5 mm
Par ailleurs, la largeur de semelle restante n'est plus que de 60 mm - (2 x 8 mm) = 44 mm, à cause des trous de fixation de l'attache de hauban.
La courbe de moment fléchissant que nous avons calculée et dessinée (programme informatique n° 1) nous indiquent qu'à cet endroit le moment de flexion correspond à -212,5 mkg (soit -212 500 mmkg).
A ce moment de flexion vers le haut s'oppose un moment de flexion vers le bas (96,7 mkg, soit 96.700 mmkg), dû au hauban, et qui a été calculé tout à l'heure. Ayant en main tous ces éléments, appliquons la formule:
W = ((-212.500 mmkg + 96.700 mmkg) x 1000 ) / ( 44 mm x 109,5 mm x 109,5 mm x 3.5 ) = 115.800.000 / 1.779.047 = 65

Ce nombre W permet, en se reportant au tableau du livre de Maurice GUERPONT, de déterminer facilement le coefficient d'épaisseur pour chaque semelle. Avec ce W valant 65, on trouve:
semelle comprimée => coefficient 0,069; semelle tendue => coefficient 0,036

Pour trouver finalement l'épaisseur de chaque semelle, on calcule le produit coefficient et hauteur restante:
soit 109,5 mm x 0,069 = 7,6 mm d'épaisseur pour la semelle comprimée,
et 109,5 mm x 0,036 = 3,9 mm d'épaisseur pour la semelle tendue.

La semelle comprimée étant à cet endroit la semelle inférieure, il lui faudra donc une épaisseur de 7,6 mm pour tenir la flexion. Au final on cumule avec l'épaisseur indispensable pour tenir la compression:
Dans notre exemple, on aurait: 5,2 mm + 7,6 mm = 12,8 mm pour la semelle inférieure,
et 5,2 mm + 3,9 mm = 9,1 mm pour la semelle supérieure.

Pour mémoire, le plan de R. Grünberg préconise à cet endroit une épaisseur de 15 mm pour chacune des deux semelles!
Le longeron paraît donc largement dimensionné, puisqu'à cet endroit précis, qui est le plus sollicité de toute l'aile, il y a un excès de matière. Mais il faut encore tenir compte des efforts supplémentaires en cas de ressource...

On ne peut guère se contenter d'un seul calcul, fut-il appliqué à l'endroit qu'on pense le plus stratégique, pour décider que tout va bien. Alors il faut reprendre la même série de calculs pour chacun des points qu'on a choisis sur l'envergure... Ce n'est pas d'une folle complexité, mais c'est très long si l'on a décidé de prendre de nombreux points sur le longeron, et il faut s'attendre à commettre des erreurs dans les calculs en chaîne.



SEMELLES 3: ANALYSE DES EFFORTS EN RESSOURCE


Il ne reste plus qu'à déterminer les surépaisseurs nécessaires pour tenir l'effort supplémentaire qui apparaît lors de la ressource sévère.
Nous avons calculé dans un chapitre précédent ("Efforts dans le plan horizontal") une force de 156 kg vers l'avant en cas de ressource de ce type, et une traînée de 56 kg vers l'arrière en vol "standard". Nous avions alors produit un graphique que nous allons exploiter maintenant. Pour mémoire, voici à nouveau ce graphique:

Calcul du longeron par Jean-Pierre LALEVEE

(Cliquez pour agrandir)


Les efforts vers l'avant ont pour effet de comprimer la baguette de bord d'attaque (et le coffrage avant de l'aile), et d'étirer le longeron. Les efforts horizontaux vers l'arrière (traînée) ont l'effet inverse. Puisque les efforts vers l'avant sont environ 4 fois plus importants que ceux vers l'arrière, on peut se permettre de négliger ces derniers, et de ne faire que les calculs qui correspondent aux efforts vers l'avant, puisque le rapport traction/compression du bois est de 2 pour 1.

La distance entre l'axe central longitudinal de longeron et le bord d'attaque de l'aile est égale à 0,26 m (plan Grünberg p.14).
La largeur du longeron est de 60 mm.
Nous connaissons déjà la valeur du moment fléchissant correspondant, grâce au graphique que nous avons déjà obtenu (schéma ci-dessus), et nous savons que le moment fléchissant maximal est atteint au niveau de l'attache de cabane avec -103,5 mkg; et qu'il garde sensiblement cette valeur entre les deux attaches des mâts de cabane, puisqu'il ne descend qu'à -99,4 mkg à l'axe central de l'aile.
L'effort en traction/compression est donc égal à: 103,5 kg / 0,26 m = 398 kg. C'est une valeur importante!
La résistance en traction à 7 kg/mm2 exige une section de bois égale à: 398 kg / 7 = 56,9 mm2
On n'oublie pas que l'attache de cabane est fixée par un boulon de 8 mm, qui passe dans un trou percé dans la semelle du longeron, ce qui réduit sa largeur: 60 mm - 8 mm = 52 mm
Soit une épaisseur par semelle de: (56,9 mm2 / 52 mm) / 2 semelles = 1,1 mm

On ajoutera cette épaisseur à l'épaisseur déjà calculée pour la semelle tendue. Il s'agit de la semelle supérieure:
9,1 mm + 1,1 mm = 10,2 mm

Et pour la baguette de bord d'attaque, qui subit la compression en offrant une résistance de 3,5 kg par mm2:
398 kg / 3,5 = 113,7 mm2
Il faudrait donc une baguette de 11 x 11 mm, s'il n'y avait pas de coffrage de bord d'attaque.
Nous n'utilisons qu'une baguette de 6 x 12 = 72 mm2
Il manque donc 42 mm2 environ, soit 146 kg de résistance ... Mais en réalité, on doit supposer que le caisson formé par le coffrage de bord d'attaque prend en charge la plus grosse partie des efforts, et que notre petite baguette suffit sans doute... Si vous craignez qu'elle soit insuffisante, remplacez-la par une baguette de plus forte section.

Passons pour finir au calcul des efforts à tenir par les âmes du longeron.



ÂMES: ANALYSE DES EFFORTS TRANCHANTS


Ce sont les âmes du longeron, c'est à dire ses deux joues, qui prennent en charge les efforts tranchants. Notre objectif est de connaître la section totale de CTP qui les constitue. Nous devons additionner les efforts tranchants sur l'aile, et ceux dus au hauban et au mât.

Sur notre longeron de HM 293, dont la hauteur est 120 mm, les deux semelles ont une épaisseur de 15 mm. On utilisera donc une "hauteur équivalente" égale à 120 mm - 15 mm = 105 mm, ce qui correspond à la distance qui sépare les deux semelles à mi-épaisseur.

On doit calculer l'effort tranchant comme on l'a fait pour le moment de flexion lors des calculs d'épaisseur des semelles. Le plus simple est de se reporter au tableau que nous connaissons bien, et sur lequel les efforts tranchants sur l'aile sont directement lisibles. L'effort tranchant est le plus important de part et d'autre de l'attache de hauban, où il atteint:
-283,3 kg côté pointe d'aile (extérieur), et 387,5 kg côté fuselage (intérieur).

Ici encore, le désaxage des attaches produit un effort tranchant, qui se calcule en divisant le moment fléchissant par la distance qui sépare l'attache concernée et l'axe central de l'aile sur notre Pou:
Attache de hauban: 97 mkg / 1,20m = 81 kg
Attache de cabane: -5,5 mkg / 0,45 m = 12 kg

C'est encore un effort qui s'ajoute à ceux que nous avons déjà chiffrés. Au niveau de l'attache de hauban, côté intérieur, on aura:
387,5 kg + 81 kg = 468,5 kg pour l'attache de hauban côté intérieur,
et seulement 85 -12 kg = 73 kg pour l'attache de cabane.

Puisque l'effort est beaucoup plus important au niveau de l'attache intérieure de hauban, et qu'on utilise le même contreplaqué pour toute l'envergure du longeron, on ne tiendra compte que de la valeur maximale de 468,5 kg, arrondie à 470 kg.

Le CTP d'okoumé a une résistance au cisaillement égale à 1,2 kg/mm2 en fatigue. Nous utilisons du CTP de bouleau dont la résistance est meilleure avec 2,2 kg/mm2.
Nous avons donc besoin d'une section de 470 kg / 2,2 kg/mm2 = 214 mm2 de CTP
c'est à dire une épaisseur de 217 mm2 / 105 mm = 2,03 mm pour les 2 faces
Soit 1,02 mm par face.
Or nous utilisons du CTP de 1,5 mm: c'est plus que nécessaire!

Cette valeur est bonne pour du CTP dont les fibres majoritaires sont disposées longitudinalement.
Mais en les disposant à 45 °, la résistance au cisaillement passe à 4,5 kg/mm2
Du coup, la section nécessaire devient : 477 / 4,5 = 106 mm2
et l'épaisseur: 106 mm2 / 105 mm = 1 mm pour les 2 faces
C'est à dire 0,5 mm par face!

Moralité: c'est encore mieux en collant le CTP à 45 °, mais il faut penser à croiser les fibres sur chaque face pour qu'elles se présentent à 90° l'une par rapport à l'autre. A ce moment là, la résistance est plus que surabondante!!!




CONCLUSION ET PROGRAMME DE CALCULS


Avec ses 15 mm d'épaisseur pour chaque semelle, le longeron est dimensionné pour tenir largement tous les efforts qu'il subit en compression comme en flexion, à coefficient de sécurité de 6!... A l'emplacement le plus sollicité (attache de hauban), il est prévu un renfort de 10 mm d'épaisseur de part et d'autre et à l'intérieur du longeron. L'épaisseur serait suffisante même en l'absence de ce renfort, puisque sans lui, il y a un petit excès de matière (théorique ...) sur la semelle qui travaille le plus. Mais ce n'est pas une raison pour ne pas le mettre en place!

Le seul doute qu'on pourrait avoir concerne la baguette de bord d'attaque, dans les efforts vers l'avant qui accompagnent une forte ressource. Cette baguette est le seul élément qui semble (et qui est) sous-dimensionné d'après les calculs. Mais les calculs ne tiennent aucun compte de la présence du coffrage du bord d'attaque; ils sont donc pessimistes. Et d'ailleurs, a-t-on déjà vu une aile de Pou casser en vol ?

D'autre part, avec ses deux âmes de 1,5 mm d'épaisseur, le même longeron est capable d'encaisser des efforts tranchants bien supérieurs à ceux qui nous ont servi de base pour les calculs. Autrement dit, ce longeron ne cassera pas en vol, même dans des conditions dures. Que cela ne vous empêche pas de soigner sa réalisation ...


Les calculs faits dans ce chapitre l'ont été avec des valeurs choisies arbitrairement, mais assez réalistes puisque 260 kg en ordre de vol représentent certainement un cas de figure fréquent. Il faudrait effectuer les mêmes calculs pour la valeur maximale autorisée par la réglementation: avec une masse en ordre de vol de 300 kg (plus 5% pour le parachute ?), et à facteur de charge égal ou supérieur à 4 G et coefficient de sécurité égal ou supérieur à 1,5.
Pour votre information personnelle, vous pourriez faire la même chose avec les caractéristiques précises de votre Pou à vous, puisque par exemple la hauteur de l'aile avant a une influence sur les résultats, à cause de l'angle que forme alors le hauban et le mât de cabane.

Avec tous les renseignements ci-dessus et le bouquin de Maurice Guerpont, vous pourrez refaire tous les calculs à la main.
Mais je vous propose un programme informatique pour PC qui les fera en deux coups de cuiller à pot, sans risque d'erreur, et avec une précision excellente (tous les 50 mm, sur toute l'envergure). Voici l'aspect actuel du programme DIMLONG, qui peut faire les calculs à votre place:

Calcul du longeron par Jean-Pierre LALEVEE

(Cliquez pour agrandir)

Vous y retrouvez bien sûr un grand nombre des valeurs que nous avons calculées péniblement. Non ? Alors vous n'avez pas suivi, ou mes explications ont été trop mauvaises...

CLIQUEZ ICI POUR TÉLÉCHARGER UN FICHIER EXEMPLE DE RÉSULTATS. Il s'agit d'un fichier texte que le programme construit tout seul dès qu'on clique sur la touche OK. Lisible avec Wordpad ou n'importe quel traitement de textes, il fournit tous les résultats concernant les épaisseurs de semelles, avec la presque totalité des calculs intermédiaires.
Vous y lirez les caractéristiques des semelles du longeron du HM 293, de 100 en 100 mm (la résolution la meilleure permise par le programme est de 50 mm), avec les paramètres que nous avons adoptés depuis l'origine dans cette rubrique "calculs", et qui sont visibles dans l'image ci-dessus. Les résultats que nous venons de déterminer à la main à grand peine et pour seulement 1 emplacement de l'aile figurent au grand complet dans ce fichier texte. Les valeurs changent très légèrement à cause des arrondis que nous avons faits à tout moment, mais ce sont bien les mêmes résultats que produit le programme, seulement plus précis.

ATTENTION: ce programme de calcul est bien joli, mais il n'a été écrit que pour le plaisir de la programmation et l'erreur est humaine: les résultats qu'il produits ne sont absolument pas garantis; je vous déconseille de lui faire confiance à 100 % pour étudier un longeron de votre conception. Disons qu'il peut vous permettre de lever des doutes ou d'obtenir des confirmations, sans plus, quand vous étudiez un plan. Pour le reste, prenez vos responsabilités! Par ailleurs, je n'aimerais pas du tout que ce programme soit exploité par d'autres, commercialement ou non. Téléchargez-le, utilisez-le à titre personnel si ça vous chante, mais n'en faites aucun usage que la prudence (et l'honnêteté) réprouvent.

>>> Télécharger LE PROGRAMME DIMLONG <<<

Observation: à la date du 3 mai 2002, où cette page devient officiellement accessible, le programme n'est pas téléchargeable. Hé non ... dommage! Vous êtes punis.
Ce phénomène est dû à un léger écœurement de votre serviteur, qui en a un peu marre justement de l'être,
compte tenu du manque de contributions à: 1) ce site, et 2) la liste pouguide.

(Note du webmaster actuel (2009): depuis 7 années, toujours aucune réaction ni remerciement pour le travail fourni par JPL...)

Le programme est écrit en Delphi et s'exécute directement sous Windows en cliquant simplement sur son icône.

Pour ceux qui possèdent Excel et qui ne craignent pas l'aspect peu ergonomique de ses feuilles "brutes", Bruno CORBEAU a réalisé une feuille de calculs .XLS qui permet lui-aussi de calculer le dimensionnement d'un longeron de Pou:

>>>  Télécharger LA FEUILLE EXCEL zippée "calclong.zip <<<

ATTENTION encore: le calcul de dimensionnement effectué par cette feuille n'est pas garanti non plus, ni même complet puisque notamment les efforts dus à la ressource ont été négligés.

Bruno est bien bon, il ne s'oppose pas (pas encore) à ce que vous vous emparâssiez de son travail.

Cet outil de calcul est compressé avec Winzip; à décompresser avant usage par conséquent. Débrouillez-vous: WinZip se télécharge sur internet.



Origine de l’article: Proposition de Jean-Pierre LALEVEE
Ont participé à l'étude: Jean-Pierre LALEVEE, Bruno CORBEAU, Hans ENGELS
Mise en ligne 2002: Jean-Pierre LALEVEE
Mise en ligne 2009: Thibaut CAMMERMANS

Pour toute question, correctif, mise au point, ajout, contacter l'auteur.


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