Calcul du longeron (Yves Millien)


CALCUL EN FLEXION, A LA RUPTURE, DES LONGERONS EN BOIS
(Yves MILLIEN)


Ce chapitre est extrait d'un document manuscrit de 8 pages rédigé par Yves MILLIEN à partir des informations contenues dans le bouquin de Paul VALLAT ("Résistance des matériaux"). Il a été proposé une fois encore par Jean-Marie BALLAND, qui a de nouveau puisé dans ses archives personnelles pour le mettre ici à la disposition de tous.

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1 - Principe de calcul

On applique aux sections évidées la répartition de Pager comme pour les sections pleines et on néglige la participation des âmes à la flexion. Cette hypothèse est justifiée non seulement par la faible section des âmes vis-à-vis de celle des semelles, mais aussi par suite de leur participation réduite aux contraintes normales provenant de ce que les modules d’élasticité E des contre-plaqués sont faibles vis à vis de ceux des bois en plateau.

On pose encore les deux équations d’équilibre :


Deux cas peuvent se présenter, selon les épaisseurs relatives des semelles vis-à-vis de la hauteur Z du point de brisure :
- la semelle comprimée travaille entièrement au taux nca (figure 1B) ;
- une partie seulement de la semelle comprimée travaille à ce taux (figure 1C).

La forme des équations varie selon le cas considéré.



2 - Abaques

Les calculs étant assez longs, sinon compliqués, nous donnons deux abaques pratiques permettant le calcul rapide des longerons rectangulaires en bois (référence STAé 659 BC1).

Ces abaques sont établis pour le cas le plus fréquent où :



Les 2 abaques provenant du bouquin Vallat peuvent être téléchargés en haut de page (Pages 7 et 8)

2.1- Notations.

Ces abaques utilisent les notations suivantes :

Dimensions :
- e = épaisseur de la semelle comprimée
- b = largeur des semelles
- H = hauteur extérieure du longeron
- e' = épaisseur de la semelle tendue

Contraintes admissibles :


Paramètres sans dimension :


Le moment admissible est donné dans un système d’unités homogène à celui des grandeurs du second membre.

Exemple : Ma est en mm.kg si b et H sont en mm et nca en kg / mm².



Ce schéma est bien peu lisible, mais nous ne pouvons rien proposer de mieux dans l'immédiat ...

2.2 - Abaque n° 1 : vérification des sections.



On connaît alors toutes les dimensions de la section et l’on veut vérifier si cette section tient sans rupture le moment M qui lui est appliqué.

Il convient de remarquer que l’abaque ne permet pas de connaître la contrainte réelle.

On porte en abscisses le paramètre  et l’on élève en ce point une verticale jusqu’au point de rencontre avec la courbe de remplissage  qui correspond au cas étudié.

En cheminant horizontalement à partir de ce point, on lit sur l’échelle des ordonnées la valeur du paramètre de charge admissible (l’abaque est graduée en 1000 * pour faciliter les notations).

On en déduit la valeur Ma à l’aide de l’expression ci-dessus et l’on doit avoir Ma supérieur ou égal à M.

Remarque : la courbe sinueuse joignant les points de brisure des courbes  figure le passage de la répartition fig. 1B à la répartition fig. 1C. Le domaine compris en dessous de cette courbe correspond à la répartition 1B, c’est à dire .

2.3 - Abaque n° 2 : détermination du longeron optimum.


Étant données les dimensions extérieures H et b et le moment fléchissant appliqué M (au coefficient de rupture), cet abaque permet d’obtenir les épaisseurs e et e’ à donner aux semelles pour que l’on ait à la fois Ma = M et un poids minimum de construction. Ce poids minimum correspond au minimum de compatible avec la condition de résistance.

L’abaque s’établit en exprimant les différents paramètres en fonction de  et en dérivant par rapport à cette variable.

On connaît donc le coefficient :

On porte cette valeur en ordonnée à droite de l’abaque et l’on trace à partir de ce point une horizontale jusqu’au point de rencontre avec la courbe .

Une verticale passant par ce point définit sur leurs différentes courbes les valeurs de tous les autres paramètres et en particulier de :


Remarque : la courbe des optima (valeurs minima) est tracée sur l’abaque n° 1 où elle se situe au dessus de la courbe des brisures. On voit ainsi que la répartition optimum correspond toujours au cas de la fig. 1C.



3 - Opérations pratiques de dimensionnement d’un longeron en bois

Dans le cas d’un longeron d’aile, par exemple, on connaît en chaque section le moment fléchissant M maximum qui a généralement lieu dans le sens porteur (vol normal) et le moment M’ maximum et de signe contraire (vol sur le dos).

On commence par définir le longeron optimum à l’aide de l’abaque n° 2. On vérifie ensuite si ce longeron est satisfaisant en flexion suivant le moment M’ à l’aide de l’abaque n° 1 (la semelle tendue devenant comprimée et vice versa). Dans le cas contraire, on renforce le longeron en procédant par approximation à l’aide de l’abaque n° 1. On sait alors que le longeron optimum n’est pas compatible avec le système de charges appliquées.



4 - Application numérique

4.1- Données.

Soit à dimensionner les semelles d’un longeron de planeur à sa section d’encastrement sur le fuselage, étant données les caractéristiques et les charges appliquées suivantes :
- H = 240 mm
- B = 115 mm
- M = 3800 m.kg (vol normal : semelle inférieure tendue)
- M’ = - 2000 m.kg (vol normal : semelle supérieure tendue)
- Semelles en spruce : nca = 3,5 kg / mm² ; nta = 7 kg / mm²

4.2- Longeron optimum en vol normal.

= 3800 * 1000 / (115 . 240² . 3,5) = 0,164

1000 * = 164

d’où d’après l’abaque n° 2 (construction indiquée) :


On obtient donc les épaisseurs optima suivantes :


4.3- Vérification en vol sur le dos.


On a alors, en tenant compte de l’inversion du sens des efforts :


D’où, en utilisant l’abaque n° 1 (construction indiquée) :

1000 * = 100, soit = 0,1

D’où un moment admissible à rupture (signe négatif) :

Ma = - 0,1 . 115 . 240² . 3,5 = 232 0000 mm.kg = - 2320 m.kg

On a donc, en valeur absolue : Ma > M (avec M = 2000 m.kg).

Le longeron convient en vol sur le dos où il présente une marge de sécurité à la rupture de :

100 . (2320 – 2000) / 2000 = 16 %

Remarque : l’abaque n° 2 permet de lire :


Le point de brisure de la courbe de répartition se trouve donc, en vol normal, à l’intérieur de la semelle comprimée (semelle supérieure), à une distance de :

0,188 . 240 = 45 mm du haut du longeron.

P. VALLAT - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX


Origine de l’article : Proposition de J.-Marie BALLAND
Auteur : Yves MILLIEN, d'après Paul VALLAT
Rédaction, mise en ligne(original) : B. Corbeau, JP Lalevée
Mise en ligne : Charlie CRAWLEY




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