Calcul d'efforts


Par Jean-Pierre LALEVÉE et autres complices cités

Dernière mise à jour: 25/12/2001

Cette rubrique contient tout ce qu'il faut pour que vous puissiez calculer vous-même les éléments de votre Pou-du-Ciel: les formules de calcul, les données, et une description de la manière de les utiliser. J'ai essayé d'être aussi clair que possible, mais si vous voulez suivre utilement la progression, il vous faudra du temps devant vous et une bonne calculette.



SOMMAIRE (à explorer dans l'ordre, de préférence !)

1 - AILE AVANT
2 - AILE ARRIÈRE
3 - AILES HM14
4 - AILES CRIQUET LÉGER
5 - CHARNIÈRES AILE AVANT


Je ne saurais trop vous conseiller d'acquérir le livre de Maurice GUERPONT, "LES AILES DE L'AMATEUR", dans lequel figurent toutes les formules mathématiques essentielles que je n'ai fait qu'exploiter. M. GUERPONT est le concepteur de l'AUTOPLUME, un ULM de formule Lacroix à empennage porteur, décrit dans Vol Moteur n°115 (en nov. 95). Il est aussi le créateur du BIPLUME, ULM biplan de 96 kg à vide, qu'il avait apporté à Blois en septembre 2001, dont la qualité de réalisation est stupéfiante, et dont le dessin est original autant que novateur... Certains se sont inspirés de ses demi-ailes inférieures mobiles et indépendantes, cf. le "Mistral".

M. GUERPONT, Les Fines Oseilles - 41150 CHAUMONT s/LOIRE - Tél. 02 54 20 92 97.
Son bouquin n'est pas cher, et il renferme des formules magiques.

Le contenu de cette page a été mis au point avec la collaboration de Matthieu BARREAU, de A. LEGOIC, et de J. LENOIR, qui ont répondu à ma sollicitation sur la liste de diffusion. Merci à eux, et à d'autres dont les noms sont cités le moment venu.



En gardant dans la main gauche le bouquin de Maurice Guerpont, je me suis amusé à écrire avec les mains qui me restaient et quelques neurones encore fonctionnels de petits programmes informatiques capables d'effectuer automatiquement les calculs d'efforts sur les ailes de nos Pou(x), et de les traduire par des graphiques faciles à lire et à exploiter. Les formules données par M. Guerpont sont assez simples, elles ne font appel qu'aux 4 opérations de base et à l'élévation à la puissance. On pourrait obtenir les mêmes résultats avec une calculette, mais il faudrait pour cela beaucoup de temps. Avec mes programmes, il suffit de 10 secondes pour entrer les données; les résultats numériques et le graphique correspondant sont obtenus instantanément.

Maurice GUERPONT



Dès l'obtention des premiers résultats calculés, mes idées reçues ont été un peu bousculées. Les vôtres le seront peut-être aussi, si vous poursuivez la lecture. Voyez plutôt...

ATTENTION: N'ÉTANT PAS INGÉNIEUR AÉRONAUTIQUE (NI MÊME INGÉNIEUR EN ROUES DE BROUETTES, hin, hin!) JE NE PEUX PAS GARANTIR L'EXACTITUDE ABSOLUE DE TOUT CE QUI EST DIT ICI. IL Y A LES CHIFFRES (qui peuvent être faux), ET IL Y A EN PLUS MES INTERPRÉTATIONS.
SI VOUS N'ÊTES PAS D'ACCORD AVEC MES CALCULS ET MES CONCLUSIONS, FAITES-LE MOI SAVOIR sans hésitation car je n'ai pas de fierté mal placée !


Si vous voulez télécharger les programmes de calcul, notez qu'il vous faudra un PC pour les faire fonctionner (pas un Macintosh) et qu'auparavant vous devrez télécharger (c'est gratuit) sur le site de Microsoft (ou ailleurs, ça n'en est que mieux, rechercher sur un moteur de recherches avec le mot-clé "VB40032")), ou encore récupérer chez un ami, le fichier VB40032.DLL à placer dans le répertoire Windows\System de votre machine. Vérifiez quand-même que vous ne l'avez pas déjà dans le répertoire en question; ça peut arriver ! Ne me demandez pas ce fichier, il est trop volumineux à mon goût pour être mis en téléchargement sur Pou.Guide (879 Ko pour VB40032.DLL et son petit frère VB40016.DLL), car nous ne tarderons pas à manquer de place. Mes programmes sont en principe exempts de virus...
(note du webmaster: ceci a été écrit en 2001)

J'envisageais (et j'envisage toujours) de réécrire ces mêmes programmes en Pascal, pour que les DLL deviennent inutiles, mais je manque de temps car la maintenance de Pou.Guide est lourde... Ceci est un énième appel du pied. (note du webmaster: j'en sais quelque chose, cher Jean-Pierre...)

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Cliquez sur le nom du programme à télécharger:

AILE AVANT (tous HM sauf HM 14): 4appuis.exe
AILE ARRIÈRE (tous HM sauf HM14): 2appuis.exe
AILES AV et AR (HM 14 seulement): 3appuis.exe
EFFORTS HORIZONTAUX (tous HM sauf HM 14): efhoriz2.exe
EFFORTS HORIZONTAUX (HM 14 seulement): efhoriz1.exe (pas encore disponible)




PROGRAMME N° 1: AILE AVANT


Ce programme est adapté à tous les HM dont la cabane est "rectangulaire", c'est à dire tous les Pou-du-Ciel dont l'aile avant repose sur deux mâts séparés. Ce n'est pas le cas du HM 14.
Voici l'aspect et le travail de mon programme avec les données concernant le HM 293, plan Grünberg.



(cliquez sur l'image pour l'agrandir)

Les 6 données qu'il suffit d'introduire en entrée sont visibles sur la partie gauche de l'image ci-dessus, zone grise. Les unités sont des kilogrammes ou des mètres, sauf pour la dernière case où l'on entre un coefficient de sécurité (le nombre de G encaissables, ou presque... voir plus bas la mise au point n°1 de Bruno Corbeau).

La masse indiquée est de 195 kg en ordre de vol. C'est une valeur qui correspond à 75 % de la masse totale de l'avion puisque l'aile arrière prend en charge les 25 % restants. La masse de départ prise en compte est donc de 260 kg, valeur moyenne qui n'est peut-être pas exactement celle de votre Pou personnel, mais qui paraît correcte pour une estimation réaliste. Ce qui a un plus grand effet est la position relative des attaches de cabane et de hauban.

On indique donc les distances entre l'axe central de l'aile (qui est aussi l'axe longitudinal de fuselage) et l'attache de cabane, entre cette attache et l'attache de hauban, et enfin entre cette attache et le centre géométrique de l'arrondi de pointe d'aile. Le centre de l'arrondi de pointe d'aile est le point où sont censés s'appliquer tous les efforts concernant la partie arrondie de l'aile. Les mesures indiquées sont celles du plan Grünberg.

Les calculs sont faits avec un coefficient de sécurité de 6, que l'on admettra comme étant le facteur de charge à rupture (M. Guerpont le désigne sous cette appellation, mais tout le monde n'est pas d'accord; voir la mise au point de B. Corbeau, en marron ci-dessous). Autrement dit, les calculs sont faits en prenant pour base 6 fois le poids normal de l'avion (6 x 195 kg = 1.170 kg sur l'aile avant), charge au delà de laquelle la rupture pourrait intervenir. Ou à tout le moins la déformation permanente, partielle ou totale, de la machine et du bonhomme qui la pilotait peu de temps auparavant...

Exploitant ces données, dès qu'on clique sur OK, le programme calcule et affiche à droite de la même fenêtre (couleur beige) 8 valeurs représentatives des efforts qui s'appliquent sur les attaches de cabane et de câble-hauban. Description plus loin dans cette page.

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Mise au point n°1: B. Corbeau

«Une petite remarque: les 6 g ne sont pas vraiment un coefficient de sécurité comme il est dit. Si l'on veut être sûr que tout tient à 6 G (ce qui est déjà énorme avec un pou et son aile "vivante", à moins d'être un pilote style bûcheron avec des avant-bras comme mes cuisses...), il faut prendre un véritable coefficient de sécurité, disons par exemple 1,5. Dans le cas qui nous occupe ici, à mon sens, on s'assure d'une résistance à la rupture de 4 G "seulement". De plus, si la rupture doit survenir à 6 g, cela signifie que la limite élastique a été atteinte avant. Desgrandchamps préconisait dans son bouquin de calculer les structures en limite élastique à 3,5 G (les règlements de l'époque), avec un coefficient entre rupture et limite élastique de 1,5 et un coefficient de sécurité de 1,33.
Soit au total un facteur de charge de 3,5 * 1,5 * 1,33 = 7 G.

La loi française définit les ULM "classe 3" à +4 G avec un coefficient de sécurité global imposé d'au moins 1,5 pour atteindre, en épreuve, la limite élastique (et non la rupture), soit 6 G comme ici (tiens, tiens...).

Pour pouvoir compter sur ces 6 G, en prenant en considération que les matériaux (surtout le bois) et les collages ne sauraient être totalement parfaits et homogènes, il convient donc de prendre un coefficient de sécurité de 1,33 ou 1,5.
Soit alors: les +4 G "légaux" * 1,5 (rapport rupture / élastique) * 1,33 (coeff. de sécurité) = 8 !

Pour mémoire, le Saint Patron déclarait dans le bouquin avoir calculé le "14" à 10 («... mais je me suis sans doute trompé quelque part, et mes matériaux d'amateur n'ont rien de fameux...», ajoutait-il.)»

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LE GRAPHIQUE RÉSULTANT

Dans la foulée, le programme produit instantanément un graphique qui schématise les résultats de façon concrète sur toute la longueur d'une demi-aile:



(cliquez sur l'image pour l'agrandir)

Les valeurs calculées (celle de la zone beige de la fenêtre de calculs décrite précédemment) apparaissent presque toutes de part et d'autre de l'axe horizontal bleu foncé qui représente toute l'envergure "utile" d'une demi-aile. L'axe longitudinal du fuselage se trouve sur le bord gauche (couleur magenta), et le centre géométrique de l'arrondi de pointe d'aile est à droite (couleur cyan).

Entre ces deux extrémités figurent une verticale de couleur verte qui représente la position de l'attache de cabane sur la demi-aile, et une verticale rouge qui représente la position de l'attache de hauban.
Horizontalement, chaque graduation représente 100 mm, trait en gras tous les mètres.
Verticalement, chaque graduation représente 100 kg; en positif au dessus de l'axe bleu, en négatif en dessous.

On peut redimensionner la fenêtre du graphique et/ou changer les valeurs d'entrée à volonté; le programme refait les calculs correspondants et dessine un nouveau graphique en rétablissant l'échelle correcte, dès qu'on clique sur OK.

MOMENT FLÉCHISSANT

La courbe pointillée noire du graphique est la représentation du MOMENT FLÉCHISSANT depuis l'axe central de fuselage jusqu'au centre géométrique de l'arrondi de pointe d'aile, où l'on admet que s'appliquent les forces concernant tout l'arrondi.

Comme son nom l'indique, le MOMENT FLÉCHISSANT est la valeur de l'effort de flexion que supporte le longeron à telle ou telle distance de ses points d'attache. L'unité utilisée ici est le mkg, ce qui est bien naturel puisqu'il s'agit d'un moment. Pour respecter les instructions ministérielles, je devrais parler de DaN (DécaNewtons), mais ne chipotons pas je vous prie.

En vol normal, la portance tend à soulever l'aile, puisque cette force est dirigée de bas en haut.

Le longeron comporte deux semelles horizontales reliées par deux joues verticales en CTP. Ces semelles travaillent en traction ou en compression, selon le sens d'application des forces qui s'exercent lors du vol, et selon la position des attaches de l'aile au fuselage.

Quand la valeur observée sur le graphique est négative (en dessous de la courbe bleue), cela représente une traction (un étirement) sur la semelle inférieure du longeron, et simultanément une compression de la semelle supérieure. Et inversement quand la courbe se trouve au dessus de l'axe bleu.

Le bois résiste fort bien en traction, mais deux fois moins bien en compression. Ainsi, il n'est pas indifférent de savoir quelle semelle est en traction ou en compression, de combien, et à quel endroit, ce qui permet de dimensionner correctement le(s) longeron(s).

On constate que sur nos HM 293 en vol normal, la semelle supérieure travaille en traction jusqu'à 55 cm de part et d'autre de l'axe du fuselage (soit 10 cm au delà de l'attache de la cabane), et que la semelle inférieure prend ensuite le relais, subissant à son tour la traction jusqu'à son extrémité sur la pointe d'aile. La moitié droite du schéma qui suit correspond en gros au graphique ci-dessus (en gros seulement, car l'échelle et les distances ne sont pas très scrupuleusement respectées, pour qu'on y voie mieux).



Telle est donc la forme (nettement exagérée) que le longeron aimerait prendre...
(C=compression T=traction)

Au niveau de l'attache de hauban, la valeur maximale dépasse 210 mkg (rappel: coeff. de sécurité supérieur à 6).


EFFORTS TRANCHANTS


Sur le graphique, ces efforts sont représentés par 3 droites obliques et parallèles tracées en noir. Un EFFORT TRANCHANT est une force de cisaillement, supportée là encore par le longeron. C'est la force qui s'appliquerait sur une lame de couteau cherchant à couper transversalement le longeron par dessus ou par dessous. (N.B.: Si vous avez une meilleure idée pour imager le concept, je suis preneur).

M.G. donne dans son livre, page 5, un schéma bien démonstratif, qui n'a rien à voir avec mon histoire de couteau. Je ne peux pas le reproduire ici, ce serait un plagiat... Achetez le bouquin !

Sur le graphique ci-dessus, les efforts tranchants ont un aspect bien différent du modèle proposé par M.G. dans son livre. En effet, les points 2 et 3 sont placés tous les deux au dessus de la ligne de référence bleue. C'est parce que l'attache de hauban est assez proche du fuselage.

Quand l'effort tranchant est au dessus de l'axe bleu, c'est comme si le couteau s'appliquait sur la semelle supérieure du longeron; et sous la semelle inférieure si l'effort est en dessous de l'axe.

Les valeurs calculées s'appliquent côté EXTérieur (vers la pointe d'aile) ou coté INTérieur (vers le fuselage).


RÉACTIONS D'APPUI


Une explication sommaire: lorsqu'on est debout sur le sol, on exerce sur lui au point de contact, à cause de la pesanteur, un effort dirigé de haut en bas. Puisque le sol ne s'enfonce pas, c'est donc qu'il résiste: il exerce donc un effort dans l'autre sens, c'est la réaction d'appui.

Les Réactions d'Appui ne sont pas représentées sur le graphique, mais elles sont fort utiles pour aller plus loin... Il s'agit de la valeur des forces verticales qui s'appliquent aux attaches de cabane et de hauban. Mais ces valeurs correspondent à des forces s'exerçant perpendiculairement à l'axe du longeron d'aile, et il faut les affiner pour connaître par exemple la traction bien supérieure qui s'exerce réellement sur le câble hauban, puisqu'il est fortement incliné. Penchons-nous sur ce problème...


TRACTION SUR LE CÂBLE-HAUBAN


Le câble hauban réduit le moment fléchissant de l'aile, que l'attache de cabane (et surtout le longeron à cet endroit) ne supporterait pas longtemps en son absence. Mais le câble est placé assez obliquement, ce qui induit sur lui un effort de traction important, bien plus important que la valeur de la réaction d'appui "brute" calculée pour un angle d'application de 90° par le programme.

Un autre programme informatique de 3 lignes donnerait la valeur de cette traction, qui est égale à la valeur de la réaction d'appui à l'attache de hauban (RaH = -670,8) que divise le sinus de l'angle que fait le câble à son point d'attache. En explorant une table des sinus, comme celle qu'on trouve dans un excellent petit bouquin de J.P. ADAM, "Formulaire Pratique à l'usage des mécaniciens et outilleurs", éditions EducaLivre - ISBN 2 7135 1025 2, on découvre la valeur du sinus adéquate.



Sur mon HM 293, l'angle de hauban est de 32° environ. Attention, il augmente (un peu) lorsqu'on rehausse la cabane, et c'est mon cas. Mesurez donc cet angle directement sur votre appareil. Le sinus de 32 ° égale 0,52992.

Appliquons la formule: Réaction d'appui sur l'attache de hauban / sinus(32°)
Soit: -670,8 kg / 0,52992 = -1.266 kg (arrondi)

Ainsi donc, le câble de hauban et ses ferrures de liaison doivent être capable de résister à une traction de 1,3 tonne avant de se rompre. Rappelons qu'on a utilisé un coefficient "de sécurité" de 6: la traction sur le câble en vol horizontal équilibré est donc 6 fois plus faible, soit 211 kg.

Ouvrons un catalogue commercial. On y lit qu'un câble de diamètre 5 mm a une FORCE UTILE de 300 kg. Est-ce à dire que le câble de hauban de votre Pou cassera avant même d'atteindre 2G, valeur rapidement atteinte dans un virage ou une ascendance brusque ? Pas tout-à-fait... Prenons un catalogue plus complet, qui nous donne la charge à la rupture. Le catalogue d'AIRCRAFT SPRUCE & SPECIALTIES nous indique que le câble en acier galvanisé (7 torons 19 brins de 0.3 à 0.4 mm) casse lorsque la charge atteint:
Ø 3/16" (4.76 mm): galva = 4200 lbs - inox = 3700 lbs
Ø 1/4" (6.35 mm): galva = 7000 lbs - inox = 6400 lbs

Sachant que 1 lb = 0.453 kg, on a donc une résistance à la rupture de 1.700kg pour un câble de 3/16" n acier galvanisé. Et plus de 3 tonnes pour le câble de 6,35 mm... L'inox est moins résistant.

Les coefficients de sécurité habituellement pris pour les câbles varient de 6 à 12. De 6 pour les systèmes subissant peu d'à-coups, il passe à 12 pour les systèmes servant au transport de personnes et mus par des moteurs électriques (démarrage brusque, ascenseur par exemple). Comme nous avons dans nos calculs déjà appliqué un coeff. de 6 G à la charge, notre câble de 5 mm est correctement dimensionné. Des câbles de qualité, et le tour est joué: la qualité de certains éléments vitaux ne doit pas être négligée...

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De Y. Pillonel:

Une adresse pour les câbles inox: www.acmo.fr

De B. Oregioni:

Concernant les haubans on peut se procurer d'excellents câbles de gréement chez les shipchandlers.
Dans le catalogue d' A.D. (Accastillage Diffusion, chaîne française de schipchandlers) on trouve dans la rubrique "Gréement Dormant" ce qui suit:
Les câbles servant au gréement sont en acier inoxydable 18/12 MO 316L AIS (Afnor Z2 CND 17/13).
Les câbles "monotoron" sont composés de 19 fils à enroulement hélicoïdal autour d'une âme centrale.
Ce type de câble est utilisé pour le haubannage en raison de sa grande résistance et du faible taux d'allongament.
Les câbles souples (7 x 7) et extra souples (7 x 19) sont utilisé pour les gréements des bateaux de petite taille,
la fabrication de drisses de gouvernail et de toutes manoeuvres où la souplesse est primordiale.

Câble Monotoron (1 x 19):
diamètre 4 mm rupture 1400 kg
diamètre 5 mm rupture 2180 kg

Câble Souple (7 x 7)
diamètre 4 mm rupture 950 kg
diamètre 5 mm rupture 1450 kg
diamètre 6 mm rupture 2100 kg

Câble Extra Souple (7 x 19)
diamètre 4 mm rupture 970 kg
diamètre 4.8 mm rupture 1445 kg
diamètre 5.6 mm rupture 1980 kg.

Sur un câble monotoron, on sertit un embout. Les embouts peuvent être à chape articulée, à oeil ou à tige filetée et existent à montage manuel.
Les embouts à montage manuel représentent une alternative pour ceux qui veulent éviter de fastidieux calculs de longueur.
Pour les câbles souples et extra souples on utilise les manchons Talurit.


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EFFORTS SUR LE MÂT DE CABANE: SURPRISE !



Avec la même formule, on trouve la valeur de l'effort vertical supporté par le mât de cabane, (inclinaison: 71° par rapport au plan horizontal de l'aile, valeur facile à calculer d'après la page 11 du plan Grünberg).

Le programme nous donne 222,3 kg comme valeur de la Réaction d'Appui au niveau de la fixation du mât de cabane. La valeur est positive: il ne s'agit pas d'une traction, mais d'une compression. Étonnant, non ?

Réaction d'Appui sur la cabane (RaC) / sinus de l'angle du mât, soit:
160,8 kg / 0,94552 = 170 kg
Valeur très proche de la donnée de départ, ce qui est normal puisque le mât de cabane est peu incliné.

La compression du mât de cabane et de ses ferrures atteint donc 170 kg au coeff. de sécurité choisi (et 30 kg en vol horizontal équilibré; 15 kg sur chaque mât, ce qui est dérisoire et relativise mes inquiétudes vis-à-vis de la fragilité apparente du mât de cabane avec ses soudures).

Mais voilà qui ne laisse pas d'être surprenant. Comme tout un chacun, j'étais persuadé que l'aile exerçait une traction sur les mâts de cabane, pas qu'elle appuyait dessus. Or les calculs démontrent le contraire !
Puisque les mâts de cabane sont compressés, il faut bien que la traction soit assumée par autre chose. Et cette autre chose c'est évidemment le câble de hauban. Ce câble assume sur chaque demi-aile la traction que cette dernière exerce sur lui directement, assure le travail que la cabane ne prend pas en charge, et doit même travailler encore plus pour compenser par réaction la compression sur la cabane !...

Moralité: NE PAS LÉSINER SUR LA QUALITÉ DU CÂBLE DE HAUBAN ET SUR CELLE DE L'ÉVENTUEL RIDOIR ! Et surtout proscrire absolument les câbles de Ø 3 mm que l'on voit parfois...

C'est la position de l'attache du câble hauban, placée loin de l'extrémité de l'aile, en combinaison avec le faible écartement des deux mâts de cabane, qui est à l'origine de cette situation. Avec le programme de calcul, on peut vérifier que si l'attache de hauban s'éloigne de la cabane en direction de l'extrémité de l'aile, et si l'attache de cabane se déplace dans le même sens, on finit par obtenir une traction sur le mât de cabane, en passant par une combinaison intéressante dans laquelle il n'y a aucun effort, ni en traction, ni en compression, sur les mâts de cabane. Mais pour cela, il faut peut-être redimensionner le longeron, et à coup sûr oublier la repliabilité des ailes.

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Mise au point n° 2: Hans Engels

Les mâts de cabane sont effectivement en pression. Les calculs du Croses Criquet L (version M. Barzic) que j’ai faits en 1994 ont donné le même effet étonnant. C’est cependant facile à voir quand on sait qu’on a une distance entre centre d’arrondi et point de fixation du hauban plus grande que la distance entre ce point de fixation et l’attache de cabane (comparaison de moments)

C’est peut être l’utilisation des différentes normes mais j’ai un autre avis que B. Corbeau par rapport à la charge de rupture. En Angleterre et en Belgique on utilise pour les ULM la norme BCAR section S (version 1995) du CAA. Dans S301, 305, 337 on définit les « Limit Loads » (LL, charges maxi) comme les charges atteintes pendant l’utilisation qui ne donnent pas de déformations permanentes entre +4 et –2 G. Dans les mêmes articles on définit « Ultimate Loads » (UL, charges ultimes) comme les charges auxquelles la structure peut résister pendant 3 secondes avant de casser.
UL = LL * Facteur de Sécurité
S303 fixe à 1.5 ce Facteur de Sécurité (FdS) sauf qu'il est indiqué autrement. Alors on peut calculer un ULM avec les marges destructives de +6 et –3 G.

Mais il y a plusieurs éléments qui font exception !! Par exemple (S619, 623) pour des boulons et chevilles structurelles, on doit multiplier le FdS par 2, ce qui veut dire qu’on utilise des facteurs de +12/-6 G ! Autre exemple, (S626) pour les CÂBLES on doit multiplier LL par 2 (et pas par 1.5) ce qui veut dire +8/-4 G !!! Mais dans la version provisoire du BCAR-S de 1983 on parle (S619, 626) de multiplier le FdS par 2 ce qui veut dire +12/-6 G ! (Il semble qu'entre la version provisoire de 1983 et la définitive de 1995 on l’ait allégé)


PS: Je n’ai donné que quelques exceptions ! Pour être complet je dois vous conseiller le texte original du BCAR-S.

Une petite remarque sur la calcul des efforts dans les câbles-haubans:

Quand on examine les feuillets n° 1, 4, 11, 15, 22 du HM 293 plan Grünberg on remarque que les mâts de cabane et les câbles-haubans sont légèrement inclinés vers l’arrière (124 mm pour une hauteur de +-587 mm): ils ne sont pas verticaux mais à 78°. Ce qui implique que les forces dans les câbles qui sont déjà augmentées avec un facteur de 1/0.52992 pour l’angle de 32° en vue frontale doivent être augmentés de nouveau mais avec un facteur de 1/0.97815. Je sais, ce n’est qu’un bon 2 % mais comme ça le calcul est exact et universel.

Mais si on refait les calculs pour les câbles en prenant en compte les deux paragraphes ci-dessus on a un problème ! Si on calcule le HM293 avec le BCAR-S (je ne sais pas avec lequel il est calculé d’origine) on trouve pour les câbles-hauban, avec un facteur de 8G et en tenant compte des deux angles une traction de 1726 kg !!! Ce qui veut dire un câble (1x19) de diamètre 5 mm, ou (7x7) de diamètre 6 mm, ou (7x19) de diamètre de 5.6 mm !!! Espérons que ce n’est qu’une différence de norme utilisée !!!


Note de J.P. Lalevée sur cette mise au point de Hans:

D'accord avec cette évaluation de Hans concernant la traction sur les câbles. J'ajoute même que, après avoir calculé les efforts horizontaux sur l'aile, une nouvelle augmentation apparaît encore. Mais bon, nous avons une aile mobile, et beaucoup d'efforts brutaux à faible durée sont entièrement ou partiellement gommés grâce à elle. Malheureusement, cela n'a été chiffré par personne à ce jour, et aucune formule corrective n'est connue. Voilà un travail qui reste à faire.







PROGRAMME N° 2: AILE ARRIÈRE


Puisque vous êtes maintenant familiarisés avec l'aspect du programme de calcul et celui du graphique, passons directement au programme n° 2.
Ce programme peut calculer les efforts sur l'aile ARRIÈRE de tous les Pou-du-Ciel, à l'exception du HM 14 "bouquin" dont les deux ailes sont sur 3 appuis. Les constructeurs du HM 14 utiliseront donc le programme 3 spécifique.



(cliquez sur l'image pour l'agrandir)

Le nombre des données en entrée est un peu plus réduit que pour l'aile AV, puisque nous avons un appui de moins pour l'aile AR qui en principe n'utilise pas de hauban.

La masse de 65 kg correspond à 25 % de la masse totale de 260 kg que j'ai choisi d'adopter dans mes calculs. On admet en effet que l'aile arrière porte, en vol en palier sans turbulences, le quart de la masse totale. La masse de l'aile elle-même est de 20 kg (à ajuster selon le poids réel de votre aile personnelle, ce qui n'aura pas un bien gros effet sur les résultats).

Les distances à entrer font intervenir ce que j'ai appelé "point de fixation": il s'agit bien sûr de la tige filetée de 8 mm qui retient le longeron avant de la demi-aile AR sur le fuselage. D'après le plan Grünberg page 16, l'écartement des deux points de fixation est de 464 mm. A partir de l'axe de symétrie de l'aile, la distance à prendre en compte est égale à la moitié de cette valeur, qu'on peut se permettre d'arrondir à 230 mm. La présence d'un longeron arrière, lui-même fixé par une tige filetée de 5 mm, n'est pas prise en considération dans les calculs.

Et le programme fournit en sortie:
- la demi-envergure "utile": distance entre l'axe central de fuselage et le centre géométrique de l'arrondi de bout d'aile;
- le Moment Fléchissant (reportez vous plus haut dans cette page si vous avez déjà oublié de quoi il s'agit) au niveau de la tige filetée de 8 mm;
- La valeur de l'effort tranchant au même endroit, EXT vers la pointe d'aile, INT vers l'axe de fuselage;
- et enfin la Réaction d'Appui au niveau de la tige filetée.

Le graphique obtenu est le suivant:



(cliquez sur l'image pour l'agrandir)


Ici, l'analyse est facile, et conforme à ce que dicte l'intuition, ça nous change...
La valeur de la Réaction d'Appui sur les boulons de fixation est négative. Il y a donc une TRACTION (ouf, dans le cas contraire on se serait posé de graves questions !) sur chacun de ces 2 boulons, qui atteint dans le pire des cas (à coeff. 6) 135 kg. La résistance en traction d'un écrou de Ø 8 mm vissé sur une tige de même diamètre est de plus de 1.700 kg. La résistance standard de la visserie 8.8 est de 80 kg/mm2 à la rupture. On a sur la tige filetée une section résistante de plus de 2 mm2 (un calcul simple donne 36,61 mm2), donc la résistance en traction est... très largement suffisante. Ce sont les semelles du longeron qui ont toutes les chances de céder les premières (ça reste à vérifier; à vous l'honneur...).

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Complément de Matthieu Barreau:

Les écrous travaillent rarement en traction pure. C'est une combinaison de traction et torsion à cause des frottement dans les filets. A ce titre et paradoxalement, on a intérêt à lubrifier les filet pour diminuer la torsion et augmenter ainsi le "rendement" en traction des vis.
Pour le calcul on prend comme section utile le diamètre à fond de filet des vis. Et on ne néglige en aucun cas de freiner de manière absolue (par obstacle) les écrous.

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En vol non perturbé en palier, le longeron principal de l'aile AR aimerait prendre une forme en V à branches arrondies, qui apparaît clairement sur le graphique (ligne courbe pointillée). Si l'on compare les graphiques des ailes AV et AR en les mettant à la même échelle sur l'axe vertical, on voit que l'aile AV est soumise à bien plus rude épreuve que l'aile AR.


ALORS, FAUT-IL UN HAUBAN ?

A titre psychologique, la réponse est... oui, mais bof. Peut-être avez-vous peur du "grand" porte-à-faux de l'aile arrière de part et d'autre de ses fixations au fuselage ? Mais il faut bien considérer que la masse volante prise en charge par l'aile AR est tellement faible que le longeron supportera les doigts dans le nez la charge qui lui est imposée, et qu'un hauban apportera de la traînée sans autre effet compensatoire que celui de rassurer le pilote.. Et on n'a pas tenu compte de la présence du longeron arrière qui, j'imagine, assure aussi un petit travail de son côté.

Tout le problème se résume plutôt à la question suivante: « Êtes vous d'accord avec le fait que l'aile AR supporte seulement 25 % de la masse volante ? ». Je pense qu'il y a des cas où cette règle couramment admise devient fausse: par exemple lorsque le Pou est en descente parachutale, manche tout tiré en arrière. Dans cette situation, l'aile AR doit sans doute porter plus que les 25 % admis. Combien ? 30 % ?, 40 %, plus encore ? je n'en sais rien... (tuyautez-moi si vous avez des renseignements sûrs sur ce point).

Un test par acquit de conscience: multiplions par 2 la masse prise en charge par l'aile AR, ce qui correspondrait à 50 % de la masse totale volante:



(cliquez sur l'image pour l'agrandir)


La masse a doublé, mais les valeurs résultantes ont plus que doublé. Maintenant, la traction qui s'exerce au pire sur chaque boulon atteint 330 kg. C'est la moitié de la force de traction sur l'attache de hauban de l'aile AV en conditions normales (mais à 6 G dans les deux cas). N'oubliez donc pas de relativiser: pour un vol rectiligne en palier stabilisé (à 1 G seulement) cette valeur serait à diviser par 6: soit 55 kg par boulon. Mais une descente parachutale est-elle équivalente à un vol rectiligne en palier, stabilisé ?

A mon humble avis, il n'y a pas d'inquiétude à avoir quant au diamètre des boulons, à l'absence de hauban, et au dimensionnement du longeron pour l'aile arrière.

Si vous tenez à tout prix à placer un hauban de chaque côté de l'aile arrière, cette aile aura alors 4 appuis. C'est donc le programme de calcul de l'aile avant (aile monobloc sur 4 appuis) qu'il faudra utiliser pour calculer la résistance du câble-hauban. Si ce n'est déjà fait, il ne vous reste plus qu'à télécharger le programme n° 1, pour y entrer les données qui correspondent à l'aile arrière. En utilisant les formules indiquées dans le chapitre "Traction sur le câble hauban" ci-dessus, vous obtiendrez les réponses à vos interrogations.




PROGRAMME N° 3: HM 14


Ici, nous abordons le problème des efforts sur les ailes du HM 14 "bouquin", seul appareil Mignet dont les 2 ailes sont fixées sur 3 points: 1 attache au centre de l'aile sur une cabane triangulaire, et 2 attaches par les haubans.

L'image ci-dessous concerne les données de l'aile AVANT. Pour l'aile arrière, vous utiliserez le même programme après l'avoir téléchargé (menu de téléchargement tout en haut de cette rubrique), en modifiant les valeurs comme vous l'entendez.

Vous observerez que j'ai légèrement réduit la masse totale de l'appareil en ordre de vol: 180 kg au lieu de 195 kg pour le HM 293. Cela équivaut à un poids total volant, pilote à bord, de 240 kg. A modifier selon votre embonpoint personnel. Mais si la modification a une influence sur les valeurs numériques calculées par le programme, la forme générale de la courbe n'en est pas modifiée pour autant.

La forme que prend l'aile avant du HM14 est sensiblement la même que celle décrite pour le HM 293.

Et on remet le couvert ! Sur le HM 14, la cabane travaille elle aussi en COMPRESSION !
En effet, la Réaction d'Appui au point de fixation central de l'aile est positive: 85 kg avec le coefficient de sécurité de 6 qu'on a adopté:



(cliquez sur l'image pour l'agrandir)


85 kg à un coeff. de sécurité de 6, cela nous donne un peu plus de 14 kg (85 kg divisé par 6) de pression sur le triangle de cabane, en vol en palier équilibré par temps calme. C'est dérisoire... La cabane du HM14, réalisée en tubes de 20 x 1.5, serait-elle surdimensionnée (coefficient 10, disait Mignet en page 150 du bouquin) ?



(cliquez sur l'image pour l'agrandir)


LA RESISTANCE DU CABLE-HAUBAN

Comme pour le HM 293, le câble hauban est incliné fortement. Ce qui induit une traction plus importante que les 507,5 kg annoncés par le programme. Je ne connais pas l'angle que font les haubans; d'ailleurs ils sont dédoublés pour former une triangulation tétraédrique (Le Sport de l'Air p. 325), et les deux bouts n'ont pas la même inclinaison. Sur votre appareil, vous mesurerez l'angle le plus aigu (sur l'aile avant, c'est le bout de hauban qui rejoint le pied de cabane). Je ne connais pas cet angle, car je n'ai pas de HM14 sous la main.
Imaginons qu'il soit le même que sur le HM293, soit 32 °:

-507,5 kg / sinus(32°) = -507,5 / 0,52992 = -958 kg (nous avions presque -1,3 tonne sur le HM293)

C'est la traction qui s'exerce sur l'attache de hauban, donc sur le ridoir visible page 326 du bouquin; ridoir qui constitue le point faible du dispositif de triangulation. Le câble préconisé par Henri Mignet a un diamètre de 5 mm, dont il dit lui-même que «... C'est évidemment trop solide en certains endroits...». En effet: le câble le plus sollicité est peut-être celui qui est relié au pied de cabane; le câble qui rejoint le bas de fuselage supporte moins d'efforts (quoique cela reste à prouver: j'ai écrit cette phrase avant d'avoir analysé les efforts horizontaux sur l'aile avant du HM293, et les résultats obtenus indiquent plutôt le contraire; des calculs spécifiques sont à faire pour le cas du HM 14. A vous de jouer...). Dans les faits, je suppose que le dédoublement du câble a peu d'intérêt du point de vue de la résistance totale. En tout cas, les deux bouts ne se partagent pas équitablement la traction totale, et 5 mm + 5 mm ne sont pas l'équivalent d'un seul câble plus gros.

Enfin, je l'ai dit plus haut, c'est le ridoir qui doit prendre en charge la totalité de la traction, puisqu'elle passe entièrement par lui.

NE PAS LÉSINER SUR LA QUALITÉ DU RIDOIR !

Et même si un câble de 4 mm pourrait suffire compte tenu des données dont on dispose (voir plus haut, chapitre 1, aile AV du HM 293), il faut adopter le câble de 5 mm préconisé par le concepteur, ça ne coûte quasi rien de plus, ça ne donne pas plus de traînée, et ça permet peut-être d'atteindre ici (à vérifier avec le programme, faute de temps, je ne l'ai pas fait...) le coefficient de 10 qu'annonce Henri Mignet (bouquin page 150).




LES AILES DU CRIQUET LÉGER


Jean-Pierre RIOU, qui n'a pas pu faire fonctionner mes programmes parce qu'il n'a pas pu télécharger correctement VB40032.DLL, m'a transmis les caractéristiques des ailes du Criquet Léger, plan d'Emilien CROSES. J'ai aussitôt utilisé mes programmes de calcul pour visualiser les caractéristiques particulières de cet appareil de formule Mignet.

Pour ne pas encombrer cette page, je n'y ai pas intégré les images obtenues en grand format, mais vous pouvez les obtenir en cliquant ci-dessous. (note du webmaster 2009: les liens sont cassés)

Ne vous laissez pas piéger par les titres des images: Aile AVANT (monobloc 4 appuis) correspond à l'AILE ARRIÈRE du Criquet, et aile ARRIÈRE (monobloc 2 appuis) correspond à l'AILE AVANT du Criquet. Deux images concernent l'aile AVANT, et deux autres l'aile ARRIÈRE: deux personnes dans l'avion, ou pilote seul.




Aile AVANT 2 personnes

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Aile AVANT 1 personne
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Aile ARRIÈRE 2 personnes

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Aile ARRIÈRE 1 personne
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Contrairement au HM 293, l'aile avant est fixée sur 2 appuis, qui correspondent globalement aux haubans du Pou, et l'aile arrière est fixée sur 4 appuis. La comparaison des graphiques Pou/Criquet est intéressante. On pourrait estimer que la cabane du HM 293 n'est pas d'une grande utilité puisque le Criquet s'en passe fort bien.

Toutefois, l'attache inférieure des mâts du Criquet est placée en bas des côtés du fuselage, et le mât est dédoublé pour résister aux efforts horizontaux sur l'aile, ce qui provoque une traînée importante, probablement à l'avantage du Pou et de sa cabane. Un Pou sans cabane devrait utiliser le même principe, et il faudrait étudier des ferrures d'attache en bas de fuselage, pour réduire les efforts sur les mâts en réduisant leur angle d'inclinaison. Il n'est pas certain qu'il en résulterait un gros progrès.



FERRURES 1: CHARNIÈRES D'AILE AVANT

Voici quelques chiffres concernant le problème de la résistance des ferrures d'articulation des pointes de l'aile avant; calculs basés toujours sur les formules du bouquin de Maurice GUERPONT:

Les courbes visibles tout en haut de cette rubrique indiquent qu'au niveau de la jonction entre l'aile centrale et la pointe d'aile, le moment de flexion maximal est de 212,5 mkg (pour une charge de 195 kg en ordre de vol sur l'aile AV).
Lisible sur le plan Grünberg page 18, la distance entre l'axe d'articulation supérieur de charnière et le verrou est de 158 mm.

La charge totale en traction-compression (traction sur le verrou en dessous de l'aile; compression sur la charnière au dessus de l'aile) appliquée sur l'ensemble charnière-verrou, est donc de 212,5 * 0,158 = 1.350 kg (Bouquin Guerpont page 50).
Rappel: Nous sommes à coeff 6 !

Poursuivons l'analyse:
Il y a deux éléments qui assurent tout le travail: la charnière articulée au dessus, et le verrou en dessous.
On pourrait considérer que ces 2 éléments se partagent la charge par moitié, ce qui est sûrement assez près de la vérité. Mais imaginons pour les calculs suivants que toute la charge s'applique uniquement sur l'un d'eux (nous serions à quelque-chose comme coeff 12 !):

1) La charnière supérieure:

Il y a 6 boulons pour tenir la charge, donc cette charge est globalement divisée par 6:
1.350 kg / 6 = 225 kg, ce qui est dérisoire.
Ces boulons travaillent presque exclusivement en cisaillement. Il y a en effet une petite composante en traction à cause du non alignement des alésages d'axes horizontaux par rapport aux alésages verticaux des boulons de fixation. Mais les résultats qu'on va obtenir sont tellement grands par rapport aux besoins, qu'on peut se permettre de négliger la composante en traction.
Pour la résistance en cisaillement de la boulonnerie, on prend la moitié du taux de travail à la traction, soit 40 kg/mm2 pour la qualité 8.8.
S'il n'y avait qu'un seul boulon, ses caractéristiques devraient être:
section: 1.350 / 40 = 34 mm2
donc diamètre: racine carrée de (34 x 1,27) = 6,57 mm
Un seul boulon M8 qualité 8.8 pourrait donc supporter la totalité de la charge, alors qu'on utilise plusieurs boulons de 8 mm.

2) L'axe transversal de charnière:

L'axe qui traverse le tube de charnière supporte de chaque côté la moitié de la charge: 1.350 / 2 = 675 kg
S'il est en acier à 40 kg/mm2 en cisaillement (acier 8.8), il nous faut:
section de l'axe: 675 / 40 = 17 mm2
donc diamètre: racine carrée de (17 x 1,27) = 4,6 mm
Un axe de 5 mm pourrait suffire !
Mieux: si l'on considérait que la charge doit être tenue d'un seul côté de la charnière, les calculs sont exactement ceux qu'on a faits plus haut, et 8 mm suffisent encore largement !

3) La charnière "femelle" supérieure:
Les 1.350 kg seraient tenus par l'épaisseur de métal des 2 bords relevés de la charnière "femelle", bords renforcés par des rondelles brasées qui en augmentent l'épaisseur.
Chaque côté de la charnière a ces caractéristiques:
Diamètre extérieur: 20 mm; diamètre du trou qui accueille l'axe: 8 mm; épaisseur: 3 mm au moins grâce à la rondelle brasée; Taux de travail du métal: 40 kg/mm2.
Chaque côté peut supporter par conséquent une charge de:
(20 mm - 8 mm) * 3 mm * 40 kg/mm2 = 1.440 kg
Cette formule figure dans le livre Guerpont, page 51 (avec un coefficient de 1,4 qui ne s'applique qu'au dural, mais ici nous sommes en acier, alors le coefficient ne s'applique pas).
La charnière a 2 côtés, donc cette valeur est à multiplier par 2: 2.880 kg. Du coup, la résistance est encore très supérieure à nos besoins.

3) Le verrou inférieur "femelle":

Avec ses 6 boulons de fixation, nous sommes dans le même cas que pour la charnière supérieure. Donc pas de souci pour ce qui est de la fixation...
Mais tout l'effort est tenu par la tige en acier DUR de 10 mm, travaillant en cisaillement elle-aussi.
Le même calcul revient encore:
1.350 kg sont à tenir par un axe en acier de qualité supérieure à 8.8.
Pour être encore dans un cas de figure défavorable, prenons toujours les caractéristiques d'un acier à 40 kg/mm2, alors que l'acier dur de la tige est peut-être à 50 kg/mm2.
Le calcul reste toujours le même: une tige d'un diamètre de 6,57 mm suffirait, alors que notre tige mesure 10 mm !

4) La languette de verrou ("mâle"):

Elle a ces caractéristiques:
Diamètre extérieur: 40 mm (mais on se limitera à 30 mm car au delà de 1,5 fois le diamètre du trou, la résistance maxi est atteinte); diamètre du trou qui accueille l'axe: 10 mm; épaisseur: 4 mm; taux de travail du métal: 40 kg/mm2.
Elle est donc capable de tenir la charge suivante: (30 mm - 10 mm) * 4 mm * 40 kg/mm2 = 3.200 kg
Et on ne lui demande qu'une fraction de ce travail...
Si l'on emploie de l'acier doux, le taux de travail à adopter est 25 kg/mm2, ce qui donne 2.000 kg. Pas de problème...


CONCLUSION

Je pense qu'il n'y a donc aucun souci à se faire quant à la résistance des charnières et du verrou.
Le surdimensionnement très important des éléments fournit un excès de matière qui limite le matage des pièces, dont les caractéristiques mécaniques ne changeront que très peu de ce fait.

Mais il faut quand-même que la soudure du tube d'articulation de charnière soit bien réalisée, bien que l'essentiel de son travail s'opère en compression: le risque de casser cette partie de la charnière est moins grand que s'il s'agissait d'une traction.

Compte tenu des résultats qu'on vient de voir, il n'est pas utile de se livrer à un chiffrage pour les charnières de l'aile ARRIÈRE, car les charges sur cette aile sont bien moindres, alors que les charnières AR sont d'une taille presque équivalente à celles de l'AV. Ce qui est déjà trop pour l'aile AV est BEAUCOUP TROP pour l'aile AR...



Origine de l’article: Proposition de JP LALEVEE (extraite de son ex-site perso)
Participants:
M. BARREAU, B. CORBEAU, H. ENGELS, JP LALEVEE,
B. OREGIONI, Y. PILLONEL, J.P. RIOU
Un remerciement tout particulier à:
Maurice GUERPONT pour son excellent livre et sa gentillesse.
Rédaction, photos, schémas, programmes:
Jean-Piere LALEVEE
Mise en ligne:
Thibaut CAMMERMANS

<Pour toute question, correctif, mise au point, ajout: contacter l'auteur.



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